2009-2010学年江苏省扬州中学高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，使得x²＞0”的否定是    ．

2. 难度：中等

若方程（k∈R）表示双曲线，则k的范围是    ．

3. 难度：中等

=    ．

4. 难度：中等

已知流程图如图所示，该程序运行后，输出b的值为   

5. 难度：中等

已知条件且，q：a+b＞1，则p是q的    条件（填充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）

6. 难度：中等

一只口袋中装有大小相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取出的两个球中至少有一个白球的概率是    ．

7. 难度：中等

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，且双曲线过点P（2，1），则双曲线的标准方程为    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=e^x（x²-2x）的单调递减区间为    ．

9. 难度：中等

已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为    ．

10. 难度：中等

已知2z+（2+i）为纯虚数，z•（3+4i）为实数，则z=    ．

11. 难度：中等

已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，标准差为，则xy的值是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点的个数为    个．

13. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是    ．

14. 难度：中等

点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x²于A，B两点，且，则称点P为“λ点”，那么直线l上有    个“λ点”．

二、解答题

15. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．

16. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=2px的准线经过双曲线C₂：的左焦点，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）求双曲线C₂的方程．

17. 难度：中等

某连锁分店销售某种品牌产品，每件产品的成本为4元，并且每件产品需向总店交5元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（10≤x≤12）时，一年的销售量为（13-x）²万件．
（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式L（x）（销售一件商品获得的利润为x-（4+5））；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+2．
（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程f（x）=0有两相等实根的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

19. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆C的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，AB中点为C（x，0），求证：g′（x）≠0．