2009-2010学年数学暑期综合练习（1）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

的值是    ．

2. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是    ．

3. 难度：中等

已知复数z₁=-1+2i，z₂=1-i，z₃=3-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若，则λ+μ的值是    ．

4. 难度：中等

已知函数，则不等式f（x）-x≤2的解集是    ．

5. 难度：中等

若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是    ．

6. 难度：中等

函数y=x+2cosx在（0，π）上的单调递减区间为     ．

7. 难度：中等

在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是    ．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₁=-2，a₂=0．若将a₁，a₄，a₅都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为    ．

9. 难度：中等

下列伪代码输出的结果是    ．

10. 难度：中等

过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为    ．

11. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，-1），B（-1，3），若点C满足，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，则点C的轨迹方程为    ．

12. 难度：中等

已知f（x）=x²-2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为    ．

13. 难度：中等

已知关于x、y的二元一次不等式组，求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=（n∈N^*），b_n=（n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是    ．（填序号）

二、解答题

15. 难度：中等

设集合A为函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆C_RA，求a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A的对边长等于2，向量=，向量=．
（1）求•取得最大值时的角A的大小；
（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值．

17. 难度：中等

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积．

18. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1，直线l：．
（1）设圆O与x轴的两交点是F₁，F₂，若从F₁发出的光线经l上的点M反射后过点F₂，求以F₁，F₂为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．

19. 难度：中等

已知函数，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数有零点，求b的最小值．

20. 难度：中等

已知数列a_n、b_n中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列a_n是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列b_n是等比数列；
（2）若数列b_n是等比数列，数列a_n是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列a_n是等差数列，数列b_n是等比数列，求证：．