Question

已知圆O：x²+y²=1，直线l：．
（1）设圆O与x轴的两交点是F₁，F₂，若从F₁发出的光线经l上的点M反射后过点F₂，求以F₁，F₂为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．

Answer

（1）利用对称求出2a，F1F2=2c，由题意可求椭圆方程；
（2）作出图形，由题意可知图中P的对称点到圆O的切线长最短，就是过原点O且与l垂直的直线与l′的交点．
解（1）如图，由光学几何知识可知，点F1关于l的对称点F1′
在过点A（-4，0）且倾斜角为60°的直线l′上．
在△AF2F1′中，椭圆长轴长，
又椭圆的半焦距c=1，∴，
∴所求椭圆的方程为；
（2）光线从射出经反射到相切经过的路程最短，即为l′上的点P′到圆O的切线长最短，
由几何知识可知，P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点，
这一点又与点P关于l对称，∴AP=AP′=2，故点P的坐标为（-2，0）．