《第1章 导数及其应用》2010年单元测试卷（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=（x²-2x）e^x的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，则其函数解析式可能是（ ）

A．f（x）=x²+ln|x|
B．f（x）=x²-ln|x|
C．f（x）=x+ln|x|
D．f（x）=x-ln|x|

3. 难度：中等

设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）

二、填空题

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③对于任意a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

5. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

6. 难度：中等

已知a≥0，函数f（x）=x²+ax．设，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l，l与x轴的交点是N（x₂，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求a的取值范围．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a为常数，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx²-，（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的递增区间；
（Ⅱ）当a=1时，过点P（0，t）（t∈R）作曲线y=f（x）的两条切线，设两切点为P1（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂），求证：x₁+x₂=0．

9. 难度：中等

设函数f（x）=（a-2）ln（-x）++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

10. 难度：中等

已知函数．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．

11. 难度：中等

已知函数，其中a为大于零的常数．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1-2x平行，求a的值；
（II）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的极小值．