2009-2010学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U，集合M={x∈Z|x≥-1}和N={x|（x+3）（x-2）＜0}的关系的维恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个

2. 难度：中等

设复数，则a+b=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1

3. 难度：中等

下列4个命题中真命题的个数为（ ）
①∀a∈R，a²＞0
②
③
④∃α∈R，sinα=cosα
A．④
B．③④
C．①②④
D．①③④

4. 难度：中等

下列4个函数中是奇函数且最小正周期为2π的是（ ）
A．
B．y=cos（π-x）
C．y=sin2
D．

5. 难度：中等

设x，y满足则z=x+y的最小值等于（ ）
A．3
B．
C．2
D．-1

6. 难度：中等

设，则（ ）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c

7. 难度：中等

若log_mn=-1，则3n+m的最小值是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．

8. 难度：中等

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=10^x-1，下面关于函数f（x）的判断：
①当x∈[-1，0]时，f（x）=10^-x-1；
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③对任意x₁，x₂∈（1，2），满足（x₂-x₁）（f（x₂）-f（x₁））＜0；
④当x∈[2k，2k+1]，k∈Z时，f（x）=10^x-2k-1．其中正确判断的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=-5，a₆=1，此数列的通项公式为    ，设S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₈等于    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

如果执行下面的程序框图，那么输出的结果是    ．

12. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为    ，全面积为    ．

13. 难度：中等

P（-1，1）是圆O：x²+y²-4y=0内一点，过点P的直线l与圆O交于A，B两点，则|AB|的最小值等于    ，此时直线l的方程为    ．

14. 难度：中等

设函数，f（x）=x²+bx+c，若关于x的方程f（g（x））=0有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²等于    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．
（1）求b的值；
（2）求sinA的值；
（3）求sin（2A+C）的值．

16. 难度：中等

为了解某学校高中学生视力的情况，拟采取分层抽样的方法从高一、高二、高三年级中抽取7个班进行调查，已知该校高一、高二、高三年级分别有8，8，12个班．
（1）从高一、高二、高三年级中应分别抽取多少个班？
（2）若从抽取的7（3）个班中随机地抽取2（4）个班进行调查结果的对比．求这两个班都来自高三年级的概率和这两个班来自不同年级的概率．

17. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）证明：A₁C⊥平面BED；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）在满足（1）的条件下，探究函数f（x）零点的个数；如果有零点，请指出每个零点处于哪两个连续整数之间，并说明理由；
（3）讨论函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求S_n的最小值，指出S_n取最小值时n的值，并说明理由．

20. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．