2013年广东省肇庆市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，复数z₁=a-3i，z₂=2+bi，其中a、b∈R．若z₁=z₂，则ab=（ ）
A．-1
B．5
C．-6
D．6

2. 难度：中等

已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于-2且小于5的整数}，则∁_UM=（ ）
A．∅
B．{6}
C．{-2，6}
D．{-2，5，6}

3. 难度：中等

命题“∃x∈R，2^x＜1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，2^x≥1
B．∀x∈R，2^x＜1
C．∃x∈R，2^x≥1
D．∃x∈R，2^x＞1

4. 难度：中等

甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm²），根据这组数据下列说法正确的是（ ）

品种	第1年	第2年	第3年	第4年	第5年
甲	9.8	9.9	10.1	10	10.2
乙	9.4	10.3	10.8	9.7	9.8

A．甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数
B．甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数
C．甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差
D．甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，满足a₃+a₉=8，则此数列的前11项的和S₁₁=（ ）
A．44
B．33
C．22
D．11

6. 难度：中等

平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7，k），若向量与垂直，则k=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

7. 难度：中等

阅读如图的程序框，并判断运行结果为（ ）

A．55
B．-55
C．5
D．-5

8. 难度：中等

设变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值为（ ）
A．1
B．9
C．11
D．13

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则△ABC的面积是（ ）
A．3
B．
C．3
D．6

10. 难度：中等

设集合M={A，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅}，在M上定义运算“⊗”为：A_i⊗A_j=A_k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（a⊗a）⊗A₂=A的a（a∈M）的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

11. 难度：中等

函数的定义域为    ．

12. 难度：中等

若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是    ．

13. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，AB=4，BD=2，则PA=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．

17. 难度：中等

某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．

组号	分组	回答正确 的人数	回答正确的人数 占本组的概率
第1组	[15，25）	5	0.5
第2组	[25，35）	a	0.9
第3组	[35，45）	27	x
第4组	[45，55）	B	0.36
第5组	[55，65）	3	y

（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

18. 难度：中等

如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求四棱锥C-AOFP的体积．

19. 难度：中等

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+y²+2x-7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；
（2）过点B（1，）能否作出直线l₂，使l₂与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l₂存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

若f（x）=其中a∈R
（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e²]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范围．