Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）在中，分别令n=1、2、3即可求得a2，a3，a4的值；
（2）累乘法：n＞1时，由nan+1=2Sn①，得（n-1）an=2Sn-1②，①-②化简得nan+1=（n+1）an，即（n＞1），则，由此可得an=n（n＞1），注意验证a1；
（3）裂项相消法：由（2）可求得，各项按此规律展开即可求得Tn；
【解析】
（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，
由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；
（2）当n＞1时，由nan+1=2Sn①，得（n-1）an=2Sn-1②，
①-②得nan+1-（n-1）an=2（Sn-Sn-1），化简得nan+1=（n+1）an，
∴（n＞1）．
∴a2=2，，…，，
以上（n-1）个式子相乘得（n＞1），
又a1=1，∴；
（3）∵，
∴
=．