2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则∁_U（A∩B）等于（ ）
A．∅
B．{0，1}
C．{0，1，4}
D．{0，1，2，3，4}

2. 难度：中等

在复平面内，复数z₁的对应点是Z₁（1，1），z₂的对应点是Z₂（1，-1），则z₁•z₂=（ ）
A．1
B．2
C．-i
D．i

3. 难度：中等

在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（ ）
A．ρ=2sinθ
B．ρ=-2sinθ
C．ρ=2cosθ
D．ρ=-2cosθ

4. 难度：中等

如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（ ）

A．k≤10
B．k≤16
C．k≤22
D．k≤34

5. 难度：中等

设，，c=log₃2，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

6. 难度：中等

对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（ ）
A．m⊥n，n∥α
B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α
D．m⊥n，n⊥β，β⊥α

7. 难度：中等

已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则     ． （填入：“＞”，“=”，或“＜”）

10. 难度：中等

（2x-1）⁵的展开式中x³项的系数是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

在△ABC中，BC=2，，，则AB=    ；△ABC的面积是    ．

12. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=    ．

13. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₁+a₄=12，则a_n=    ；设，则数列{b_n}的前n项和S_n=    ．

14. 难度：中等

已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若，求x₂；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

16. 难度：中等

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．
（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图1，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；
（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

已知集合S_n={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数
对于（a₁，a₂，…a_n）∈S_n，定义：b_i=g（a_i-a₁）+g（a_i-a₂）+…+g（a_i-a_i-1），i∈{2，3，…，n}，b₁=0，称b_i为a_i的满意指数．排列b₁，b₂，…，b_n为排列a₁，a₂，…，a_n的生成列；排列a₁，a₂，…，a_n为排列b₁，b₂，…，b_n的母列．
（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，-1，2，-3，4，3的母列；
（Ⅱ）证明：若a₁，a₂，…，a_n和a′₁，a′₂，…，a′_n为S_n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于S_n中的排列a₁，a₂，…，a_n，定义变换τ：将排列a₁，a₂，…，a_n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a₁，a₂，…，a_n变换为各项满意指数均为非负数的排列．