2007年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=（1-i）²i等于（ ）
A．-2
B．2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

（文）若A、B是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．∅∈A∩B
B．∅=A∩B
C．∅⊆A∩B
D．∅A∩B

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁•a₃=8，a₂=3，则公差d=（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．±2

4. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则cos（A-B）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

（文）若tanα=2，则tan（+α）的值为（ ）
A．3
B．-3
C．
D．-

6. 难度：中等

一条直线与平面所成的角为θ （0＜θ＜），则此直线与这个平面内任意一条直线所成角中最大角是（ ）
A．
B．π
C．π-θ
D．θ

7. 难度：中等

（文）若一条直线与平面所成的角为，则此直线与这个平面内任意一条直线所成角的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[，]
C．[，π]
D．[0，]

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）
A．3+2
B．-3+2
C．-5
D．1

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（ ）
A．3
B．6
C．
D．9

10. 难度：中等

如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为（1，-），那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[0，）∪[，π）
C．[0，]∪[，π）
D．[，]

11. 难度：中等

（文）如果函数f（x）=x²-bx+2在闭区间[-1，2]上有反函数，那么实数b的取值范围（ ）
A．（-∞，2]
B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
C．[-2，+∞）
D．（-∞，-2]∪[4，+∞）

12. 难度：中等

直线MN与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右支分别交于M、N点，与双曲线的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又=λ（λ∈R），则实数λ的值为（ ）

A．
B．2
C．
D．3

13. 难度：中等

平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：++=，则下列结论正确的是（ ）
A．P在CA上，且=2
B．P在AB上，且=2
C．P在BC上，且=2
D．P点为△ABC的重心

14. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）的值域为（ ）
A．[2，4]
B．
C．
D．

15. 难度：中等

（文）两直线x+y-2=0 和y+a=0的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

16. 难度：中等

△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．1或

二、解答题

17. 难度：中等

二项式（-）⁹展开式中的系数为    ．

18. 难度：中等

（文）把一枚硬币投掷5次，恰好2次出现正面的概率为    ．

19. 难度：中等

数列{x_n}的通项x_n=（-1）ⁿ⁺¹，前n项和为S_n，则=    ．

20. 难度：中等

不等式的解集为    ．

21. 难度：中等

不等式的解集为    ．

22. 难度：中等

一个五位数由数字0，1，1，2，3构成，这样的五位数的个数为    ．

23. 难度：中等

过定点P（1，4）作直线交抛物线C：y=2x²于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M，则点M的轨迹方程为    ．

24. 难度：中等

（文）一过定点P（0，1）的直线l 截圆C：（x-1）²+y²=4所得弦长为2，则直线l 的倾斜角α为    ．

25. 难度：中等

已知函数时取到最大值．
（1）求函数f（x）的定义域；（2）求实数a的值．

26. 难度：中等

（文） 已知函数f（x）=-4sin²x．
（1）求函数f（x）的定义域和最大值；  
（2）求函数f（x）的单调增区间．

27. 难度：中等

如图，在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，
（1）求二面角E-A₁C₁-D₁的平面角的余弦值；
（2）求四面体B-A₁C₁E的体积．
（3）（文） 求E点到平面A₁C₁B的距离
（4）（文）求二面角B-A₁C₁-B₁的平面角的余弦值．

28. 难度：中等

一袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，若从这只袋中每次取出1个球，取出后放回，连续取三次，设取出的球中数字最大的数为ξ．（1）求ξ=3时的概率；（2）求ξ的概率分布列及数学期望．

29. 难度：中等

一袋中装有分别标记着1，2，3，4，5数字的5个球，
①从袋中一次取出3个球，试求3个球中最大数字为4的概率；
②从袋中每次取出一个球，取出后放回，连续取3次，试求取出的3个球中最大数字为4的概率．

30. 难度：中等

已知直线l：y=2x-与椭圆C：+y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．
（1）设PQ中点M（x，y），求证：x＜（2）求椭圆C的方程．

31. 难度：中等

（1）已知函数m（x）=ax²e^-x （a＞0），求证：函数y=m（x）在区间[2，+∞）上为减函数．
（2）已知函数f（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．

32. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c        
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

33. 难度：中等

已知点（a_n，a_n-1）在曲线f（x）=上，且a₁=1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：（n∈N*）
（3）求证：数列{a_n}前n项和（n≥1，n∈N*）

34. 难度：中等

（文）设数列{a_n}的前n项和S_n=，n=1，2，3…（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．（2）求数列{}的前n项和T_n．