2009年北京大学附中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数f（x）的反函数f^-1（x）=1+x²（x＜0），则f（2）=（ ）
A．1
B．-1
C．1和-1
D．5

2. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1），则a₂（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2

3. 难度：中等

如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（ ）
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为真命题

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂+a₆+a₁₀为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是（ ）
A．S₆
B．S₁₁
C．S₁₂
D．S₁₃

5. 难度：中等

设函数y=f（x）的图象与y=log₂（1-x）的图象关于直线x=1对称，则y=f（x）为（ ）
A．y=log₂（1+x）
B．y=log₂（x-1）
C．y=log₂（x-2）
D．y=log₂（2-x）

6. 难度：中等

设S_n=1-2+3-4+…+（-1）^n-1n，则S₄₀+S₂₁+S₂₃的值为（ ）
A．0
B．3
C．4
D．-85

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c（ ）
A．有最大值
B．有最大值-
C．有最小值
D．有最小值-

8. 难度：中等

关于函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R）有下列三个结论：
①f（x）的值域为R；
②f（x）是R上的增函数；
③对任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立；
其中所有正确的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数，在x=1处连续，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

已知S_n=2+2⁴+2⁷+2¹⁰+…+2³ⁿ⁺¹⁰（n∈N^*），求和S_n=    ．

11. 难度：中等

已知f（x）=x+-3（a∈R），且f（lg2）=0，则f（）=    ．

12. 难度：中等

设{a_n}是公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的两个根，则a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=    ．

13. 难度：中等

若直线y=2a与函数y=|a^x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列为数列的前n项和，且S_n与），则=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值及通项公式a_n．
（2）求S_n．

16. 难度：中等

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a≥-1，求f（x）的单调区间．

17. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期．

19. 难度：中等

设函数．
（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．