2011年北京市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={x|x²≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1]
B．[1，+∞）
C．[-1，1]
D．（-∞，-1]∪[1，+∞）

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．i
B．-i
C．
D．

3. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是（ ）
A．
B．
C．（1，0）
D．（1，π）

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）

A．-3
B．-
C．
D．2

5. 难度：中等

如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG
其中正确结论的序号是（ ）

A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③

6. 难度：中等

根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是（ ）
A．75，25
B．75，16
C．60，25
D．60，16

7. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）
A．8
B．
C．10
D．

8. 难度：中等

设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）
A．{9，10，11}
B．{9，10，12}
C．{9，11，12}
D．{10，11，12}

二、解答题

9. 难度：中等

在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=    ；a=    ．

10. 难度：中等

已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）．若与共线，则k=    ．

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=，a₄=-4，则公比q=    ；|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=    ．

12. 难度：中等

用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有    个．（用数字作答）

13. 难度：中等

已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于a²．
其中，所有正确结论的序号是    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

17. 难度：中等

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．
（注：方差，其中为x₁，x₂，…x_n的平均数）

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

20. 难度：中等

若数列A_n=a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_n+1-a₁|=1（k=1，2，…，n-1），数列A_n为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出一个满足a₁=a_s=0，且S（A_s）＞0的E数列A_n；
（Ⅱ）若a₁=12，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列A_n，使得S（A_n）=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A_n；如果不存在，说明理由．