2011-2012学年河北省高三第一次模拟考试文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合,，若，则实数的值为（     ）

A.                B.                 C.            D.

2. 难度：简单

已知复数（其中，是虚数单位），则的值为（     ）

A．               B．                 C．0              D．2

3. 难度：简单

已知数列，若点在经过点（5，3）的定直线上，则数列的前9项和=（    ）

      A．9                  B．10                C．18              D．27

4. 难度：简单

某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：

	相关人员数	抽取人数
公务员	35	b
教师	a	3
自由职业者	28	4

则调查小组的总人数为(       )

A．84                B．12

C．81                D．14

5. 难度：简单

若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时(       )

A．在单调递增          B．在单调递减

C．在单调递减        D．在单调递增

6. 难度：中等

函数 的图象大致是(      )

7. 难度：中等

已知函数与函数的图像关于对称且有,若,则的最小值为（　　）

A．9              B．           C．4            D．5

8. 难度：困难

已知点P是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（     ）

A．4          B．            C．2             D．

9. 难度：困难

一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么该三棱柱的体积是(       )

A. 96          B. 16          C. 24         D. 48

10. 难度：困难

如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（    ）

    A．                               B．

    C．                                  D．

11. 难度：困难

定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（     ）

A．           B．            C．         D．

二、填空题

12. 难度：简单

已知正数数列（）定义其“调和均数倒数”（），那么当时，=_______________.

13. 难度：简单

若变量满足约束条件，则的最大值是________

14. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为       ．

15. 难度：中等

以下正确命题的序号为­­­__________

①命题“存在”的否定是：“不存在”；

②函数的零点在区间内；  

③若函数满足且，则=1023；

④函数切线斜率的最大值是2.

三、解答题

16. 难度：简单

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

17. 难度：简单

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

18. 难度：中等

某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18~19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下：（单位：cm）

南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163;

北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166;

(Ⅰ)根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；

(Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的身高不低于170的大学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率.

19. 难度：困难

已知椭圆：的离心率为，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.

20. 难度：困难

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 当a=-1时，求f（x）的最大值；

(Ⅱ) 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（Ⅲ） 当a=-1时，试推断方程=是否有实数解.

21. 难度：困难

如图，相交于A、B两点，AB是的直径，过A点作的切线交于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与、交于C，D两点.

求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；

 (Ⅱ)AD=AE.

22. 难度：困难

在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点.

(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；

(Ⅱ)求|BC|的长.

23. 难度：困难

已知关于x的不等式（其中）.

 (Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；

 (Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围.