2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合M={-1,0,1}，N={x|x²=x}，则M∩N=

A、{-1，0，1}     B、{0,1}   C、{1}   D、{0}

2. 难度：简单

复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是

A、-1-i  B、-1+i   C、1-i   D、1+i

3. 难度：简单

命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是

A、若α≠，则tanα≠1   B、若α=，则tanα≠1

C、若tanα≠1，则α≠  D、若tanα≠1，则α=

4. 难度：简单

某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

5. 难度：简单

设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A、y与x具有正的线性相关关系

B、回归直线过样本点的中心（，）

C、若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D、若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

6. 难度：简单

已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A、-=1  B、-=1  C、-=1    D、-=1  

7. 难度：中等

设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：

①   ＞  ；② ＜ ； ③ ，

其中所有的正确结论的序号是

A、①    B、① ②    C、② ③    D、① ②③  

8. 难度：中等

在△ABC中，AC= ，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于

A、   B、  C、  D、

9. 难度：困难

设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π） 且x≠时 ，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为

A、2  B、4  C、5   D、8

二、填空题

10. 难度：困难

在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a=_______.

11. 难度：困难

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.

12. 难度：困难

不等式x²-5x+6≤0的解集为______.

13. 难度：简单

图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.

(注：方差，其中为x₁，x₂，…，x_n的平均数)

14. 难度：简单

如果执行如图3所示的程序框图，输入,则输出的数 =     .

15. 难度：中等

如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且=      .

16. 难度：中等

对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a₂，…，a_k中等于1的个数为奇数时，b_n=1；否则b_n=0.

（1）b₂+b₄+b₆+b₈=__；

（2）记c_m为数列{b_n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c_m的最大值是___.

三、解答题

17. 难度：简单

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）		30	25		10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

18. 难度：简单

已知函数的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

19. 难度：中等

如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（Ⅰ）证明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】（Ⅰ）因为

又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，

而平面PAC，所以.

（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，

所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.

由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积

在等腰三角形ＡＯＤ中，

所以

故四棱锥的体积为.

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积

20. 难度：困难

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a_n万元.

（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并写出与a_n的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

21. 难度：困难

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心.[中国

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂.当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标.

22. 难度：困难

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】【解析】
令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.