2013届广东省汕头市高二下学期期中文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果等差数列中，++=12，那么（    ）

A. 1             B. 2            C. 3             D. 4

2. 难度：中等

已知复数（其中，是虚数单位），则的值为（    ）

A．           B．           C．0            D．2

3. 难度：中等

若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则=(    )

A．        B．           C．        D．

4. 难度：中等

用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（    ） 

A.假设都是偶数             B.假设都不是偶数

C.假设至多有一个是偶数     D.假设至多有两个是偶数

5. 难度：中等

 若抛物线顶点为，对称轴为轴，焦点在上，则抛物线的方程为（    ）

A.       B.      C.        D.

6. 难度：中等

有人收集了春节期间平均气温与某取暖商品销售额的有关数据如下表：

平均气温（℃）
销售额（万元）	20	23	27	30

根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额与平均气温之间线性回归方程的系数.则预测平均气温为℃时该商品销售额为(    )

A．万元       B．万元       C．万元       D．万元

7. 难度：中等

函数的单调递减区间是(    )

A.　　　   B.         C.        D.

8. 难度：中等

给定正数，若是等差数列，是等比数列，则一元二次方程（    ）

A. 无实根            B. 有两个相异实根

C. 有两个相同实根    D. 有实根

9. 难度：中等

若双曲线右支上一点到渐近线的距离是，则的值为（    ）

A．         B.            C.        D.

10. 难度：中等

已知且函数的极大值为、极小值为，又中至少有一个数在区间内，则的取值范围为(    )

A．     B．     C．         D． 

二、填空题

11. 难度：中等

函数在处的切线方程为                    .

12. 难度：中等

设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则为                .

13. 难度：中等

在中，两直角边分别为，设为斜边上的高，

则，类比此性质，如图，在四面体P—ABC 中，

若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为，设棱锥底面上的高为，则得到的正确结论为                            .

14. 难度：中等

椭圆上有个不同的点，是右焦点，组成公差为的等差数列，则的最大值为             .

三、解答题

15. 难度：中等

(12分)已知函数在与时都取得极值.

(1) 求的值；

(2) 求函数的单调区间.

16. 难度：中等

（12分）某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如列联表所示（单位：人）．

	80及80分以上	80分以下	合计
试验班	35	15	50
对照班	20		50
合计	55	45

（1）求，；

（2）你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？

参考公式及数据:

，

其中为样本容量.

	…	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0.001	…
	…	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10.828	…

17. 难度：中等

(14分)某公司在安装宽带网时，购买设备及安装共花费5万元.该公司每年需要向电信部门交纳宽带使用费都是0.5万元,公司用于宽带网的维护费每年各不同，第一年的维护费是0.1万元，以后每年比上一年增加0.1万元.

（1）该公司使用宽带网满5年时，累计总费用（含购买设备及安装费用在内）是多少?

（2）该公司使用宽带网多少年时，累计总费用的年平均值最小？

18. 难度：中等

(14分)设等差数列的前n项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：；

（3）是否存在自然数，使得…=2009？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19. 难度：中等

（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：.

20. 难度：中等

(14分)设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．