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2010年高考试题分项版理科数学之专题十五推理与证明
一、填空题
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1. 难度:简单

设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______ ________

 

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2. 难度:简单

设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______ ________

 

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3. 难度:简单

盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ __

 

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4. 难度:简单

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_ ___根在棉花纤维的长度小于20mm。

 

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5. 难度:简单

设函数f(x)=x(ex+ae-x),xR,是偶函数,则实数a=_______ _________

说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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6. 难度:简单

在平面直角坐标系xOy中,双曲线说明: 6ec8aac122bd4f6e上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___ _______

 

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7. 难度:简单

右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______ _______

说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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8. 难度:简单

函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+bk为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____ _____

 

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9. 难度:简单

在平面直角坐标系xOy中,已知圆说明: 6ec8aac122bd4f6e上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______ _____

 

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10. 难度:简单

定义在区间说明: 6ec8aac122bd4f6e上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______ _____

 

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11. 难度:简单

已知函数说明: 6ec8aac122bd4f6e,则满足不等式说明: 6ec8aac122bd4f6e的x的范围是____ ____

 

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12. 难度:简单

设实数x,y满足3≤说明: 6ec8aac122bd4f6e≤8,4≤说明: 6ec8aac122bd4f6e≤9,则说明: 6ec8aac122bd4f6e的最大值是_____ ____

 

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13. 难度:简单

在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c说明: 6ec8aac122bd4f6e,则说明: 6ec8aac122bd4f6e__

 

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14. 难度:简单

将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=说明: 6ec8aac122bd4f6e,则S的最小值是_______ _______

 

二、解答题
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15. 难度:简单

(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足(说明: 6ec8aac122bd4f6e说明: 6ec8aac122bd4f6e=0,求t的值

 

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16. 难度:简单

(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900

说明: 6ec8aac122bd4f6e

(1)求证:PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

 

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17. 难度:简单

(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β

说明: 6ec8aac122bd4f6e

(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大

 

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18. 难度:简单

(16分)在平面直角坐标系说明: 6ec8aac122bd4f6e中,如图,已知椭圆说明: 6ec8aac122bd4f6e的左右顶点为A,B,右顶点为F,设过点T(说明: 6ec8aac122bd4f6e)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M说明: 6ec8aac122bd4f6e说明: 6ec8aac122bd4f6e,其中m>0,说明: 6ec8aac122bd4f6e

说明: 6ec8aac122bd4f6e

①设动点P满足说明: 6ec8aac122bd4f6e,求点P的轨迹

②设说明: 6ec8aac122bd4f6e,求点T的坐标

③设说明: 6ec8aac122bd4f6e,求证:直线MN必过x轴上的一定点

(其坐标与m无关)

 

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19. 难度:简单

(16分)设各项均为正数的数列说明: 6ec8aac122bd4f6e的前n项和为说明: 6ec8aac122bd4f6e,已知说明: 6ec8aac122bd4f6e,数列说明: 6ec8aac122bd4f6e是公差为说明: 6ec8aac122bd4f6e的等差数列.

①求数列说明: 6ec8aac122bd4f6e的通项公式(用说明: 6ec8aac122bd4f6e表示)

②设说明: 6ec8aac122bd4f6e为实数,对满足说明: 6ec8aac122bd4f6e的任意正整数说明: 6ec8aac122bd4f6e,不等式说明: 6ec8aac122bd4f6e都成立。求证:说明: 6ec8aac122bd4f6e的最大值为说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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20. 难度:简单

(16分)设说明: 6ec8aac122bd4f6e使定义在区间说明: 6ec8aac122bd4f6e上的函数,其导函数为说明: 6ec8aac122bd4f6e.如果存在实数说明: 6ec8aac122bd4f6e和函数说明: 6ec8aac122bd4f6e,其中说明: 6ec8aac122bd4f6e对任意的说明: 6ec8aac122bd4f6e都有说明: 6ec8aac122bd4f6e>0,使得说明: 6ec8aac122bd4f6e,则称函数说明: 6ec8aac122bd4f6e具有性质说明: 6ec8aac122bd4f6e.

(1)设函数说明: 6ec8aac122bd4f6e说明: 6ec8aac122bd4f6e,其中说明: 6ec8aac122bd4f6e为实数

①求证:函数说明: 6ec8aac122bd4f6e具有性质说明: 6ec8aac122bd4f6e

②求函数说明: 6ec8aac122bd4f6e的单调区间

(2)已知函数说明: 6ec8aac122bd4f6e具有性质说明: 6ec8aac122bd4f6e,给定说明: 6ec8aac122bd4f6e说明: 6ec8aac122bd4f6e说明: 6ec8aac122bd4f6e,且说明: 6ec8aac122bd4f6e,若|说明: 6ec8aac122bd4f6e|<|说明: 6ec8aac122bd4f6e|,求说明: 6ec8aac122bd4f6e的取值范围

 

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21. 难度:简单

21(从以下四个题中任选两个作答,每题10分)

(1)几何证明选讲

AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC

说明: 6ec8aac122bd4f6e

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=说明: 6ec8aac122bd4f6e,N=说明: 6ec8aac122bd4f6e,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值

(3)参数方程与极坐标

在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值

(4)不等式证明选讲

已知实数a,b≥0,求证:说明: 6ec8aac122bd4f6e

 

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22. 难度:简单

(10分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立

(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

 

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23. 难度:简单

(10分)已知△ABC的三边长为有理数

(1)求证cosA是有理数

(2)对任意正整数n,求证cosnA也是有理数

 

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