2012-2013学年安徽省巢湖市居巢一中、合肥八中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．
C．（0，1）
D．

2. 难度：中等

函数y=x³-3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个物体的运动方程为s=1-t+t²其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒

5. 难度：中等

若直线ax+by+1=0与圆x²+y²=1相离，则点P（a，b）的位置是（ ）
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．以上都有可能

6. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列几种说法正确的是（ ）
A．A₁C₁⊥AD
B．D₁C₁⊥AB
C．AC₁与DC成45°角
D．A₁C₁与B₁C成60°角

7. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A₁B₁=2，AA₁=4，则该几何体的表面积为（ ）

A．6+
B．24+
C．24+2
D．32

8. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，（x＞0），则不等式x²f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（0，1）
D．（0，1）∪（1，+∞）

10. 难度：中等

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA₁和CC₁上，AP=C₁Q，则四棱锥B-APQC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm²，则它的体积为     cm³．

12. 难度：中等

直线y=x-1被圆x²+y²=1截得的弦长为    ．

13. 难度：中等

双曲线C：的左右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF₂是等边三角形，则双曲线C的离心率为    ．

14. 难度：中等

若函数上有最小值，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

一条不与坐标轴垂直的线段，在斜二测画法下其直观图长度不变，则在平面直角坐标系中，这条线段所在直线的斜率为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

曲线y=x³+x-10上某点切线与直线4x-y+3=0平行，求切点坐标与切线方程．

17. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

18. 难度：中等

已知抛物线的焦点和双曲线3x²-y²=1的一个焦点重合，求抛物线的标准方程．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．

20. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁A⊥BC；
（Ⅱ）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的大小余弦值；
（Ⅲ）若D为侧棱A₁A上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）若f（x）在处取和极值，
①求a、b的值；
②存在，使得不等式f（x）-c≤0成立，求c的最小值；
（II）当b=a时，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）