2012-2013学年福建省莆田四中高二（上）辅优周练数学试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

2. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

若把函数y=f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数y=sinx的图象，则y=f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设a_n=sin，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是（ ）
A．25
B．50
C．75
D．100

5. 难度：中等

△ABC所在平面内点O、P，满足，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心

6. 难度：中等

若实数t满足f（t）=-t，则称t是函数f（x）的一次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e^x（其中e为自然对数的底数）的所有一次不动点之和为m，则（ ）
A．m＜0
B．m=0
C．0＜m＜1
D．m＞1

7. 难度：中等

设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N^*）的前n项和等于，则n等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=πr³，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W=    ．

12. 难度：中等

如图，将边长为1，2，3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子的距离为1，若以此方式再放置边长为4，5，6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是    ．

13. 难度：中等

设函数f （x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在[0，]上的面积为（n∈N^*），
（i）y=sin3x在[0，]上的面积为    ；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[，]上的面积为    ．

14. 难度：中等

函数的图象为C，如下结论中正确的是    ．（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数f（x）在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．

15. 难度：中等

函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x₁、x₂（x₁≠x₂），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x²-2x+3；
③f（x）=；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：
在△ABC中，已知a=，______

17. 难度：中等

如图，已知多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD-A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

18. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

19. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程
（Ⅱ）设P（x，y）（y≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

20. 难度：中等

如图，海岸线上的灯塔A、B相距50海里，且灯塔B位于灯塔A的正南方向．已知甲、乙两艘轮船停泊于海上，其中甲船位于灯塔A的北偏西60°方向且与A相距50海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西30°方向且与B相距海里的C处．
（Ⅰ）求两艘船之间的距离．
（Ⅱ）若甲船沿着AD方向以10海里/小时的速度行驶，同时乙船沿着BC方向以海里/小时的速度行驶，问两艘船之间的距离何时最短？

21. 难度：中等

已知，且（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：
（提示：需要时可利用恒等式：lnx≤x-1）