第4章《锐角三角形》常考题集（09）：4.3 解直角三角形及其应用（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）

A．（30-50，30）
B．（30，30-50）
C．（30，30）
D．（30，30）

2. 难度：中等

如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）

A．250m
B．250m
C．m
D．250m

3. 难度：中等

如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（ ）

A．a•sinα
B．a•cosα
C．a•tanα
D．a•cotα

4. 难度：中等

如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（ ）

A．15km
B．15km
C．15（+）km
D．5（+3）km

5. 难度：中等

王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）

A．m
B．100m
C．150m
D．m

6. 难度：中等

如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（ ）

A．500sin55°米
B．500cos55°米
C．500tan55°米
D．500cot55°米

7. 难度：中等

如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离应为（ ）

A．15sin50°米
B．15tan50°米
C．15tan40°米
D．15cos40°米

8. 难度：中等

如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）

A．7海里
B．14海里
C．7海里
D．14海里

二、填空题

9. 难度：中等

如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA₁B₁，第2个△B₁A₂B₂，第3个△B₂A₃B₃，…，则第n个等边三角形的边长等于    ．

10. 难度：中等

如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是    ．

11. 难度：中等

如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为，则这个旋转角度为    度．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，sinA=，则AB的长是    cm．

13. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是    ．

14. 难度：中等

如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S₁，S₂，S₃，…．则：
（1）S₁=    ；
（2）通过计算可得S₂₀₀₉=    ．

15. 难度：中等

将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是    cm²．

16. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD：DB=    ．

17. 难度：中等

如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是    cm．

18. 难度：中等

如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B，且BP=2，那么PP′的长为    ．（不取近似值．以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=）

19. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，则AB=    cm．

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，已知AB=4，那么AD=    ．

21. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=4，则BC=    ．

22. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，已知EC=1，cosB=，则这个菱形的面积是    ．

23. 难度：中等

在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则BC=    ．

24. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是    cm²．

25. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosA=，则BC的长是    ．

26. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，cosB=，a=，则b=    ．

27. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=，则BC=    ．

28. 难度：中等

在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，AC=，则BC=    ．

29. 难度：中等

在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则tanB=    ．

30. 难度：中等

把一条长1.35 m的铁丝弯成顶角为120°的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为    m．（精确到0.1 m）