| 1. 难度：中等 | |
 在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA= ．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． |
|
| 2. 难度：中等 | |
已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN= PM．（不需证明）当PC= PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明． |
|
| 3. 难度：中等 | |
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N． （1）当AD=CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？ |
|
| 4. 难度：中等 | |
如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数； （2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H． ①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ②若△EHG的面积为3  ，请直接写出点F的坐标． |
|
| 5. 难度：中等 | |
|
如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长． 
|
|
| 6. 难度：中等 | |
|
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O． （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE； （2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是______；②当k=2时，是______；③当k=3时，是______．并证明k=2时的结论． 
|
|
| 7. 难度：中等 | |
|
在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系； （2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD； （3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求  的值． |
|
| 8. 难度：中等 | |
|
如图所示， （1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明； （2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由； （3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．  |
|
| 9. 难度：中等 | |
|
如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E． （1）求证：△ABF∽△COE； （2）当O为AC的中点，  时，如图2，求 的值；（3）当O为AC边中点，  时，请直接写出 的值．
|
|
| 10. 难度：中等 | |
|
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F． （1）求证：FD2=FB•FC； （2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由． 
|
|
| 11. 难度：中等 | |
|
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE； （2）求证：EF⊥AB． 
|
|
| 12. 难度：中等 | |
|
有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度． （1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由； （2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数； （3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？    |
|
| 13. 难度：中等 | |
|
本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分． 甲题：关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β． （1）求k的取值范围； （2）若α+β+αβ=6，求（α-β）2+3αβ-5的值． 乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=  DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长．  |
|
| 14. 难度：中等 | |
如图，已知矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y= 图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．（1）求反比例函数的解析式及E点的坐标； （2）若矩形OABC对角线的交点为F，请判断点F是否在此反比例函数的图象上，并说明理由． 
|
|
| 15. 难度：中等 | |
|
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E是AB的中点，且CE⊥DE． （1）请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由； （2）若AD=1，BC=2，求AB的长． 
|
|
| 16. 难度：中等 | |
|
在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一块含45°角的直角三角尺，将直角顶点放在斜边BC边的中点O处（如图1），绕O点顺时针方向旋转，使90°角的两边与Rt△ABC的两边AB，AC分别相交于点E，F（如图2）．设BE=x，CF=y． （1）探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的大小关系？试证明你的结论； （2）若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC边的中点O处（如图3），绕O点顺时针方向旋转，其他条件不变． ①试写出y与x的函数解析式，以及x的取值范围； ②将三角尺绕O点旋转（如图4）的过程中，△OEF是否能成为等腰三角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时x的值；若不能，请说明理由． 
|
|
| 17. 难度：中等 | |
|
如图，在△ABD和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G （1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由； （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？ 
|
|
| 18. 难度：中等 | |
|
在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度． （1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=  PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母） 
|
|
| 19. 难度：中等 | |
|
如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连接AE分别交BC，BD于F，G． （1）图中有全等三角形吗？（对角线分矩形所得两个三角形除外）若有，请写出一对来；若没有，请添加一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来； （2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为2  ，求DE的长，使得你找出的一对相似三角形的相似比为2：3．
|
|
| 20. 难度：中等 | |
如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE= CD．（1）求证：△ABF∽△CEB； （2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积． 
|
|
| 21. 难度：中等 | |
|
如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN． 
|
|
| 22. 难度：中等 | |
|
如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE与CD交于点O，连接DE． （1）四边形ACED是什么图形？说明理由； （2）若AB=4cm，AD=3cm，求DE的长． 
|
|
| 23. 难度：中等 | |
|
（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH； （2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明； （3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；  附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由． |
|
| 24. 难度：中等 | |
如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD的中点，CE的延长线交AB于F，求AF：AB的值．
|
|
| 25. 难度：中等 | |
|
如图，已知平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P点作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF． （1）请判断a与b的大小关系，并说明理由； （2）当  时，求 的值．
|
|
| 26. 难度：中等 | |
|
如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP：PQ：QR． 
|
|
| 27. 难度：中等 | |
|
已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°， （1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，则有AD∥BC； （2）若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答______； （3）若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：______． 请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明． 
|
|
| 28. 难度：中等 | |
|
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G． （1）求证：  ；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由． 
|
|
| 29. 难度：中等 | |
|
已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点． （1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长； （2）如图②，若  ，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．
|
|
