第2章《二次函数》中考题集（39）：2.4 二次函数的应用（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，抛物线y=x²+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的点P的坐标．

2. 难度：中等

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm²），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．

3. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是______；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=x-2，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

4. 难度：中等

如图，抛物线y=x²+mx+n（其中m，n为常数且m＞n）与y轴正半轴交于A点，它的对称轴交x轴正半轴于C点，抛物线的顶点为P，Rt△ABC的直角顶点B在对称轴上，当它绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C．
（1）写出点A，P，A′的坐标（用含m，n的式子表示）；
（2）若直线BB'交y轴于E点，求证：线段B′E与AA′互相平分；
（3）若点A′在抛物线上且Rt△ABC的面积为1时，请求出抛物线的解析式并判断在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△AA′D为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

5. 难度：中等

已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；
步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ______QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；
（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q₁，Q₁点的坐标是（______，______）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q₂，Q₂点的坐标是（______，______）；
③当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q₃的坐标；
（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q₁，Q₂，Q₃，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．③③

6. 难度：中等

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．

7. 难度：中等

如图1，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上）．
（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？

8. 难度：中等

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

9. 难度：中等

实验与探究：
（1）在图1，2，3中，已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出图1，2，3中的第四个顶点C的坐标，已求出图1中顶点C的坐标是（5，2），图2，3中顶点C的坐标分别是______，______；

（2）在图4中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；

归纳与发现：
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为______；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为______
（不必证明）；运用与推广：
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x²-（5c-3）x-c和三个点，，H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．

10. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是（0，16），AB平行于x轴，B，C，D三点在抛物线y=x²上，DC交y轴于N点，一条直线OE与AB交于E点，与DC交于F点，如果E点的横坐标为a，四边形ADFE的面积为．
（1）求出B，D两点的坐标；
（2）求a的值；
（3）作△ADN的内切圆⊙P，切点分别为M，K，H，求tan∠PFM的值．

11. 难度：中等

已知反比例函数的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=-x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．
（1）求出点Q的坐标；
（2）函数y=ax²+bx+有最大值还是最小值？这个值是多少？

12. 难度：中等

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）．
（1）如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；
（3）求边C′O′所在直线的解析式．

14. 难度：中等

如图，已知直线l：y=及抛物线C：y=ax²+bx+c（a≠0），且抛物线C图象上部分点的对应值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-5	0	3	4	3	0	-5	…

（1）求抛物线C对应的函数解析式；
（2）求直线l与抛物线C的交点A、B的坐标；
（3）若动点M在直线l上方的抛物线C上移动，求△ABM的边AB上的高h的最大值．

15. 难度：中等

经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：
（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

16. 难度：中等

如图，抛物线y=x²+mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是-3，点B的横坐标是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线PC的解析式；
（3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由．（参考数：≈1.41，≈1.73，≈2.24）

17. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

19. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．
（1）试判断b与c的积是正数还是负数，为什么？
（2）如果AB=4，且当抛物线y=-x²+bx+c的图象向左平移一个单位时，其顶点在y轴上．
①求原抛物线的表达式；
②设P是线段OB上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交原抛物线于E点．问：是否存在P点，使直线BC把△PCE分成面积之比为3：1的两部分？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是和，它们的中心O₁，O₂都在直线l上，AD∥l，EG在直线l上，l与DC相交于点M，ME=7-2，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕O₁以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）在开始运动前，O₁O₂=______；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，这时AE=______，O₁O₂=______；
（3）当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式．

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．
（1）分析与计算：求正方形ODEF的边长；
（2）操作与求【解析】

①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S＞0）的变化情况是______；
A、逐渐增大B、逐渐减少C、先增大后减少D、先减少后增大
②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；
（3）探究与归纳：
设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．

23. 难度：中等

如图，抛物线y=x²+bx+c（b≤0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）；直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60度．
（1）用b表示点E的坐标；
（2）求实数b的取值范围；
（3）请问△BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

24. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象交x轴于点A（x，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=-1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D．
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

25. 难度：中等

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设抛物线的对称轴为直线l，P是直线l上的一点，且△PAB的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标．

26. 难度：中等

已知抛物线y=x²-2x+m与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₂＞x₁），
（1）若点P（-1，2）在抛物线y=x²-2x+m上，求m的值；
（2）若抛物线y=ax²+bx+m与抛物线y=x²-2x+m关于y轴对称，点Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）都在抛物线y=ax²+bx+m上，则q₁、q₂的大小关系是______；
（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）
（3）设抛物线y=x²-2x+m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值．

27. 难度：中等

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

28. 难度：中等

如图，矩形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，点B的坐标是（，1），点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点P处．
（1）若点P在一次函数y=2x-1的图象上，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线y=ax²图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；
（3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．

29. 难度：中等

如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

30. 难度：中等

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．
（1）猜想OD和DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）设OD=t，求OB的长（用含t的代数式表示）；
（3）若点B在E的右侧时，△BFE与△OFE能否相似？若能，请你求出此时经过O，A，B三点的抛物线解析式；若不能，请说明理由．