Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象交x轴于点A（x，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=-1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D．
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer

（1）因为已知B点坐标和对称轴，所以可根据对称轴公式求出A点坐标；根据锐角三角函数的定义可求出C点坐标，根据x轴上的点关于y轴对称的特点可求出D点坐标．
（2）因为B、D两点为抛物线与x轴的交点，所以可设出二次函数的交点式，再用待定系数法求出函数的解析式．
（3）根据过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线相交于M．N，可求出M、N的坐标，及两点之间的距离，再根据抛物线的顶点坐标求出P点纵坐标y的取值范围，根据其取值范围即可求出S与y之间的函数关系式．
（4）因为MN之间的距离为定值，故只要在＜x＜4范围内|y|最大，则平行四边形的面积最大．根据（3）中S与y之间的函数关系式即可求出S的最大值．
【解析】
（1）∵点A与点B关于直线x=-1对称，点B的坐标是（2，0）
∴点A的横坐标是=-1，x=-4，
故点A的坐标是（-4，0）（1分）
∵tan∠BAC=2即=2，可得OC=8
∴C（0，8）（2分）
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是（4，0）（3分）

（2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x-2）（x+4）
代入点C（0，8），解得a=-1（4分）
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+8；（5分）

（3）∵抛物线y=-x2-2x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4（6分）
而抛物线的顶点为（3，-1）
当y＞3时
S=4（y-3）=4y-12
当-1≤y＜3时
S=4（3-y）=-4y+12（8分）

（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x=3，y=-1时，h=4
S=|MN|•h=4×4=16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．（10分）