1. 难度:中等 | |
如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处. (1)直接写出点E、F的坐标; (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. |
2. 难度:中等 | |
(1)如图,A1,A2,A3是抛物线y=x2图象上的三点,若A1,A2,A3三点的横坐标从左至右依次为1,2,3.求△A1A2A3的面积. (2)若将(1)问中的抛物线改为y=x2-x+2和y=ax2+bx+c(a>0),其他条件不变,请分别直接写出两种情况下△A1A2A3的面积. (3)现有一抛物线组:y1=x2-x;y2=x2-x;y3=x2-x;y4=x2-x;y5=x2-x;…依据变化规律,请你写出抛物线组第n个式子yn的函数解析式;现在x轴上有三点A(1,0),B(2,0),C(3,0).经过A,B,C向x轴作垂线,分别交抛物线组y1,y2,y3,…,yn于A1,B1,C1;A2,B2,C2;A3,B3,C3;…;An,Bn,Cn.记为S1,为S2,…,为Sn,试求S1+S2+S3+…+S10的值. (4)在(3)问条件下,当n>10时有Sn-10+Sn-9+Sn-8+…Sn的值不小于,请探求此条件下正整数n是否存在最大值?若存在,请求出此值;若不存在,请说明理由. |
3. 难度:中等 | |
如图,点D,E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点,点B的坐标为(6,4) (1)写出A,C,E,D四点的坐标;并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长; (2)动点F在线段DE上,FG⊥x轴于G,FH⊥y轴于H,求矩形面积最大时点F的坐标(利用图1解答); (3)我们给出如下定义:分别过抛物向上的两点(不在x轴上)作x轴的垂线,如果以这两点及垂足为顶点的矩形在这条抛物线与x轴围成的封闭图形内部,则称这个矩形是这条抛物线的内接矩形,请你理解上述定义,解答下面的问题:若矩形OABC是某个抛物线的周长最大的内接矩形,求这个抛物线的解析式(利用图2解答). |
4. 难度:中等 | |
如图,△ABC的高AD为3,BC为4,直线EF∥BC,交线段AB于E,交线段AC于F,交AD于G,以EF为斜边作等腰直角三角形PEF(点P与点A在直线EF的异侧),设EF为x,△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y. (1)求线段AG(用x表示); (2)求y与x的函数关系式,并求x的取值范围. |
5. 难度:中等 | |
如图1,抛物线y=x2的顶点为P,A、B是抛物线上两点,AB∥x轴,四边形ABCD为矩形,CD边经过点P,AB=2AD. (1)求矩形ABCD的面积; (2)如图2,若将抛物线“y=x2”,改为抛物线“y=x2+bx+c”,其他条件不变,请猜想矩形ABCD的面积; (3)若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”,其他条件不变,请猜想矩形ABCD的面积.(用a、b、c表示,并直接写出答案) 附加题:若将题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”条件不要,其他条件不变,探索矩形ABCD面积为常数时,矩形ABCD需要满足什么条件并说明理由. |
6. 难度:中等 | |
如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60度. (1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标. (2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D,C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明. (3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,求此函数的解析式. |
7. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中给定以下五个点A(-3,0),B(-1,4),C(0,3),D(,),E(1,0). (1)请从五点中任选三点,求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图; (3)已知点F(-1,)在抛物线的对称轴上,直线y=过点G(-1,)且垂直于对称轴.验证:以E(1,0)为圆心,EF为半径的圆与直线y=相切.请你进一步验证,以抛物线上的点D(,)为圆心DF为半径的圆也与直线y=相切.由此你能猜想到怎样的结论. |
8. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且|AB|=3,sin∠OAB=. (1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将点O、点A分别变换为点Q(-2k,0)、点R(5k,0)(k>1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为S△QMN,△QNR的面积S△QNR,求S△QMN:S△QNR的值. |
9. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所在的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上有一动点. (1)求点A的坐标; (2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; (3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当≤S≤时,求x的取值范围. |
10. 难度:中等 | |
如图,已知四边形ABCD是矩形,且MO=MD=4,MC=3. (1)求直线BM的解析式; (2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的P点的坐标. |
11. 难度:中等 | |
已知,如图,直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,它与抛物线y=ax2在第一象限内相交于点P,又知△AOP的面积为4,求a的值. |
12. 难度:中等 | |
如图(1),已知在△ABC中,AB=AC=10,AD为底边BC上的高,且AD=6.将△ACD沿箭头所示的方向平移,得到△A′CD′.如图(2),A′D′交AB于E,A′C分别交AB、AD于G、F.以D′D为直径作⊙O,设BD′的长为x,⊙O的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)连接EF,求EF与⊙O相切时x的值; (3)设四边形ED′DF的面积为S,试求S关于x的函数表达式,并求x为何值时,S的值最大,最大值是多少? |
13. 难度:中等 | |
如图所示,已知两点A(-1,0),B(4,0),以AB为直径的半圆P交y轴于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)设弦AC的垂直平分线交OC于D,连接AD并延长交半圆P于点E,与相等吗?请证明你的结论; (3)设点M为x轴负半轴上一点,OM=AE,是否存在过点M的直线,使该直线与(1)中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?若存在,求出这条直线对应函数的解析式;若不存在.请说明理由. |
14. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点. (1)求直线BC及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标; (3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数. |
15. 难度:中等 | |
已知直线y=kx+1经过点M(d,-2)和点N(1,2),交y轴于点H,交x轴于点F. (1)求d的值; (2)将直线MN绕点M顺时针旋转45°得到直线ME,点Q(3,e)在直线ME上,①证明ME∥x轴;②试求过M、N、Q三点的抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,连接NQ,作△NMQ的高NB,点A为MN上的一个动点,若BA将△NMQ的面积分为1:2两部分,且射线BA交过M、N、Q三点的抛物线于点C,试求点C的坐标. |
16. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒). (1)点A的坐标是______,点C的坐标是______; (2)当t=______秒或______秒时,MN=AC; (3)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式; (4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由. |
17. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=ax2-2x+c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)⊙M是过A、B、C三点的圆,连接MC、MB、BC,求劣弧CB的长;(结果用精确值表示) (3)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.(结果用精确值表示) |
18. 难度:中等 | |
△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M,N,交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c,0). (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若S△MNP=3S△NOP,①求cosC的值;②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值,使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形?如能,请求出这组值;如不能,请说明理由. |
19. 难度:中等 | |||||||||||||||
如图,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围; (3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k•DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围. |
20. 难度:中等 | |
已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式; (3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M.问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为,对称轴公式为x=-. |
21. 难度:中等 | |
如图,正方形ABCD的边长为3a,两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动,与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF,对应边EG=BC,B、E、C、G在一直线上. (1)若BE=a,求DH的长; (2)当E点在BC边上的什么位置时,△DHE的面积取得最小值?并求该三角形面积的最小值. |
22. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是经过点(2,0)且与y轴平行的直线,抛物线与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B(0,3),其在对称轴左侧的图象如图所示. (1)求抛物线所对应的函数关系式,并写出抛物线的顶点坐标; (2)画出抛物线在对称轴右侧的图象,并根据图象,写出当x为何值时,y<0. |
23. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2. (1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式; (2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由. |
24. 难度:中等 | |
已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)求k的取值范围; (3)过动点P(0,n)作直线l⊥y轴,点O为坐标原点. ①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于k的函数关系式; ②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,是否存在实数n,使得不论k在其取值范围内取任意值时,△AOB的面积为定值?如果存在,求出n的值;如果不存在,说明理由. |
25. 难度:中等 | |
抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0),C(0,-3). (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (2)求△AOC和△BOC的面积的比; (3)在对称轴是否存在一个点P,使△PAC的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
26. 难度:中等 | |
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点. (1)求抛物线的函数关系式; (2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值; (3)在抛物线上求一点P,使得△ABP为等腰三角形,并写出P点的坐标; 附加:(4)除(3)中所求的P点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点P,请说明理由. |
27. 难度:中等 | |
已知:直线y=x+6交x、y轴于A、C两点,经过A、O两点的抛物线y=ax2+bx(a<0)的顶点在直线AC上. (1)求A、C两点的坐标; (2)求出抛物线的函数关系式; (3)以B点为圆心,以AB为半径作⊙B,将⊙B沿x轴翻折得到⊙D,试判断直线AC与⊙D的位置关系,并求出BD的长; (4)若E为⊙B劣弧OC上一动点,连接AE、OE,问在抛物线上是否存在一点M,使∠MOA:∠AEO=2:3?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,试说明理由. |
28. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
29. 难度:中等 | |
已知平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),(4,-2). (1)请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC,设AC交X轴于点D,连接BD,证明:OD平分∠ADB; (2)请在X轴上找出点E,使四边形AOCE为平行四边形,写出E点坐标,并证明四边形AOCE是平行四边形; (3)设经过点B,且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F,求直线FA的解析式. |
30. 难度:中等 | |
如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=4,将矩形沿对角线AC剪开,解答以下问题: (1)在△ACD绕点C顺时针旋转60°,△A1CD1是旋转后的新位置(图A),求此AA1的距离; (2)将△ACD沿对角线AC向下翻折(点A、点C位置不动,△ACD和△ABC落在同一平面内),△ACD2是翻折后的新位置(图B),求此时BD2的距离; (3)将△ACD沿CB向左平移,设平移的距离为x(0≤x≤4),△A2C1D3是平移后的新位置(图C),若△ABC与△A2C1D3重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式. |