1. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系内,以y轴为对称轴的抛物线经过直y=-x+2与y轴的交点A和点M(-,0). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式; (2)将(1)中所求抛物线沿x轴向右平移.①在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象;②设沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点.判断以O为圆心,OC为半径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由; (3)P点是沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴上的点,求P点的坐标,使得以O,A,C,P四点为顶点的四边形是平行四边形. |
2. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-4)、B(x1,0)、C(x2,0)三点,且x2-x1=5. (1)求b、c的值; (2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形; (3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形;若不存在,请说明理由. |
3. 难度:中等 | |
如图1,P1、P2、P3、…、Pn分别是抛物线y=x2与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点,连接P1P2、P2P3,…,Pk-1Pk. (1)求△OP1P2的面积,并直接写出△OP2P3的面积; (2)如图2,猜想△OPk-1Pk的面积,并说明理由; (3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=ax2,其它条件不变,猜想△OPk-1Pk的面积(直接写出答案). |
4. 难度:中等 | |
已知抛物线M:y=-x2+2mx+n(m,n为常数,且m>0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线N与抛物线M关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB. 问抛物线M上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由. 说明: (1)如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步); (2)在你完成(1)之后,可以从①、②中选取一个条件,完成解答(选取①得7分;选取②得10分). ①n=1;②n=2. |
5. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),它的顶点为M,又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E,且P是线段DE的中点. (1)求该二次函数的解析式,并求函数顶点M的坐标; (2)已知点E(2,3),且二次函数的函数值大于正比例函数时,试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围; (3)0<k<2时,求四边形PCMB的面积s的最小值. 【参考公式:已知两点D(x1,y1),E(x2,y2),则线段DE的中点坐标为】 |
6. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示.已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1). (1)求点B的坐标. (2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式. (3)设点B关于抛物线的对称轴ℓ的对称点为Bl,连接AB1,求tan∠AB1B的值. |
7. 难度:中等 | |
如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C. (1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式; (2)将⊙C沿x轴翻折后,得到⊙C′,求证:直线AC是⊙C′的切线; (3)若M点是⊙C的优弧(不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标. |
8. 难度:中等 | |
如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. (1)求AD的长; (2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值; (3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由. |
9. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标. |
10. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-x+c(a≠0)经过A,B,C三点. (1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标; (2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由; (3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由. |
11. 难度:中等 | |
如图,现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ,Ⅱ,它们两直角边的长分别为1和2.将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB,△COD处,直角边OB,OD在x轴上.一直尺从上方紧靠两纸板放置,让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动.当纸板Ⅰ移动至△PEF处时,设PE,PF与OC分别交于点M,N,与x轴分别交于点G,H. (1)求直线AC所对应的函数关系式; (2)当点P是线段AC(端点除外)上的动点时,试探究: ①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等?请说明理由; ②两块纸板重叠部分(图中的阴影部分)的面积S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
12. 难度:中等 | |
如图1,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4. (1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D,E两点的坐标; (2)如图2,若AE上有一动点P(不与A,E重合)自A点沿AE方向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0<t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,s有最大值,最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标? |
13. 难度:中等 | |
直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B,经过A、B两点的抛物线与x轴的另一交点为C,且其对称轴为x=3. (1)求这条抛物线对应的函数关系式; (2)设D(x,y)是抛物线在第一象限内的一个点,点D到直线AB的距离为d、试写出d关于x的函数关系式,这个函数是否有最大值或最小值?如果有,并求这个值和此时点D的坐标;如果没有,说明理由. |
14. 难度:中等 | |
如图,在直角坐标系中,以点M(3,0)为圆心,以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A,交x轴的负半轴交于点B,交y轴的正半轴于点C,过点C的直线交x轴的负半轴于点D(-9,0) (1)求A,C两点的坐标; (2)求证:直线CD是⊙M的切线; (3)若抛物线y=x2+bx+c经过M,A两点,求此抛物线的解析式; (4)连接AC,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E,与AC交于点F.如果点P是抛物线上的动点,是否存在这样的点P,使得S△PAM:S△CEF=:3?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号) |
15. 难度:中等 | |
已知:如图,Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上,C为OA上一点且OC=OB,抛物线y=(x-2)(x-m)-(p-2)(p-m)(m、p为常数且m+2≥2p>0)经过A、C两点. (1)用m、p分别表示OA、OC的长; (2)当m、p满足什么关系时,△AOB的面积最大. |
16. 难度:中等 | |
如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止.设平移时间为t(s),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S. (1)求折痕EF的长; (2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x2+4x+3的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由; (3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围. |
17. 难度:中等 | |
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标; (3)根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? |
18. 难度:中等 | |
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),顶点C(1,-3),与x轴交于A,B两点,A(-1,0). (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A,D,B,E,点P为线段AB上一个动点(P与A,B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP,FG分别与边AE,BE相交于点F,G(F与A,E不重合,G与E,B不重合),请判断是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. |
19. 难度:中等 | |
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(-1,0),将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90度,得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M,与y轴交于点N,抛物线经过点C,M,N点. 解答下列问题: (1)设直线BB′表示的函数解析式为y=mx+n,求m,n; (2)求抛物线表示的二次函数的解析式; (3)在抛物线上求出使S△PB‘C‘=S矩形OABC的所有点P的坐标. |
20. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8). (1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标; (2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? |
21. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P,与x轴交点为A、B,与y轴交点为C,连接BP并延长交y轴于点D. (1)写出点P的坐标; (2)连接AP,如果△APB为等腰直角三角形,求a的值及点C、D的坐标; (3)在(2)的条件下,连接BC、AC、AD,点E(0,b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S,根据不同情况,分别用含b的代数式表示S,选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b为何值时,重叠部分的面积最大写出最大值. |
22. 难度:中等 | |
如图所示,在平面直角坐标系中,⊙M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(-6,0),B(0,-8)两点. (1)请求出直线AB的函数表达式; (2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数表达式; (3)设(2)中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE=S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
23. 难度:中等 | |
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,1),直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点坐标为(,),B点在y轴上,直线与x轴的交点为F,P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点. (1)求k,m的值及这个二次函数的解析式; (2)设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. |
24. 难度:中等 | |
如图1,B是长度为1的线段AE上任意一点,在AE的同一侧分别作正方形ABCD和长方形BEFG,且EF=2BE. (1)点B在何处时,正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和最小,最小值为多少? (2)若点C与点G重合,M为AB中点,N为EF中点,MN与BC交于点H(如图2所示),将△OMA沿直线DM,△MNE沿直线MN分别向矩形AEFD内折叠,求四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积. |
25. 难度:中等 | |
在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. (1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切; (3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少? |
26. 难度:中等 | |
在直角坐标系xOy中,设点A(0,t),点Q(t,b)(t,b均为非零常数).平移二次函数y=-tx2的图象,得到的抛物线F满足两个条件:①顶点为Q;②与x轴相交于B,C两点(|OB|<|OC|).连接AB. (1)是否存在这样的抛物线F,使得|OA|2=|OB|•|OC|?请你作出判断,并说明理由; (2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=,求抛物线F对应的二次函数的解析式. |
27. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. (1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:①CB=CE;②D是BE的中点; (3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点P,使得PB=PE?若存在,试求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
28. 难度:中等 | |
如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在线段BC上,且PE=PB. (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD; (2)设AP=x,△PBE的面积为y. ①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; ②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值. |
29. 难度:中等 | |
已知一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根为x1、x2,且x1<x2.若x1、x2分别是抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标(如下图所示). (1)求该抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与y轴的交点为C,抛物线的顶点为D,请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积; (3)是否存在直线y=kx(k>0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. [注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()]. |
30. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-5)和(-2,4) (1)求这条抛物线的解析式; (2)设此抛物线与直线y=x相交于点A,B(点B在点A的右侧),平行于y轴的直线x=m(0<m<+1)与抛物线交于点M,与直线y=x交于点N,交x轴于点P,求线段MN的长(用含m的代数式表示); (3)在条件(2)的情况下,连接OM、BM,是否存在m的值,使△BOM的面积S最大?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由. |