已知抛物线M：y=-x
2+2mx+n（m，n为常数，且m＞0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线N与抛物线M关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
问抛物线M上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．
说明：
（1）如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）．
①n=1；②n=2．
考点分析：
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如图1，P
1、P
2、P
3、…、P
n分别是抛物线y=x
2与直线y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交点，连接P
1P
2、P
2P
3，…，P
k-1P
k．
（1）求△OP
1P
2的面积，并直接写出△OP
2P
3的面积；
（2）如图2，猜想△OP
k-1P
k的面积，并说明理由；
（3）若将抛物线y=x
2改为抛物线y=ax
2，其它条件不变，猜想△OP
k-1P
k的面积（直接写出答案）．
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
x
2+bx+c经过A（0，-4）、B（x
1，0）、C（x
2，0）三点，且x
2-x
1=5．
（1）求b、c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．
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如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直y=-
x+2与y轴的交点A和点M（-
，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）将（1）中所求抛物线沿x轴向右平移．①在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点．判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；
（3）P点是沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O，A，C，P四点为顶点的四边形是平行四边形．
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如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由）
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如图，抛物线y
1=-ax
2-ax+1经过点P（-
，
），且与抛物线y
2=ax
2-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y
1=-ax
2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y
2=ax
2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为x
A，x
B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x
A≤x≤x
B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？
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