2009年江西省宜春市高安四中九年级数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果a²⁰⁰⁹+b²⁰⁰⁹=0，那么（ ）
A．（a+b）²⁰⁰⁹=0
B．（a-b）²⁰⁰⁹=0
C．（a¡¤b）²⁰⁰⁹=0
D．（|a|+|b|）²⁰⁰⁹=0

2. 难度：中等

已知，则的值为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2

3. 难度：中等

甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了10%．最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙．甲在上述股票交易中（ ）
A．不赚不赔
B．盈利1元
C．盈利9元
D．亏本1.1元

4. 难度：中等

方程（x²+x-1）^x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

5. 难度：中等

已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z，则S的最大值与最小值的和为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

6. 难度：中等

已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）

A．
B．1
C．
D．a

二、填空题

7. 难度：中等

若，则a-2008²=    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是    ．

9. 难度：中等

在反比例函数y=的图象上有一点A，它的横坐标n使方程x²-nx+n-1=0有两个相等的实数根，以点A与B（1，0）、C（4，0）为顶点的三角形面积等于6，则反比例函数的解析式为    ．

10. 难度：中等

定义一种新运算“⊗”为x⊗y=ax+by-ab（a，b为非零常数）．若1⊗2=3，2⊗3=6，那么3⊗4=    ．

11. 难度：中等

如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为    ．

三、解答题

12. 难度：中等

解方程：+…+=．

13. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P为⊙O上的一点，位于B、C之间，直线CP与AB相交于点Q，过点Q作直线与AB垂直，交直线AP于R．求证：BQ=QR．

14. 难度：中等

绿都超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？

15. 难度：中等

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．