2009年北京市海淀区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2011•深圳）-的相反数是（ ）
A．-2
B．
C．2
D．-

2. 难度：中等

（2012•聊城一模）2009年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资将达到51 800 000 000元人民币．将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．51.8×10⁹
B．5.18×10¹⁰
C．0.518×10¹¹
D．518×10⁸

3. 难度：中等

（2009•海淀区一模）如图，已知AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C=25°，则∠ABE的度数是（ ）

A．12.5°
B．25°
C．50°
D．60°

4. 难度：中等

（2009•海淀区一模）在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为（ ）
A．4，3
B．3，5
C．4，5
D．5，5

5. 难度：中等

（2007•温州）两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为1cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离

6. 难度：中等

（2009•海淀区一模）袋子中有5个红球，3个蓝球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机取出一个球，取出蓝球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

（2010•扶沟县一模）把代数式a³-4a²+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（a-2）²
B．a（a²-4）
C．a（a+2）²
D．a（a+2）（a-2）

8. 难度：中等

（2009•海淀区一模）如图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD，用此纸片可以围成一个无上下底面的三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（2009•海淀区一模）若实数x、y满足+（3-y）²=0，则代数式xy-x²的值为    ．

10. 难度：中等

（2011•盘锦）反比例函数y=的图象经过点（-2，3），则k的值为    ．

11. 难度：中等

（2009•海淀区一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的高为    ．

12. 难度：中等

（2010•扶沟县一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C_n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C₂的顶点坐标为    ；抛物线C₈的顶点坐标为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

（2010•大兴区一模）计算：．

14. 难度：中等

（2010•大兴区一模）解不等式组：．

15. 难度：中等

（2009•海淀区一模）已知：如图，点B、E、F、C在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠CED．
求证：AF=DC．

16. 难度：中等

（2007•北京）计算：．

17. 难度：中等

（2009•海淀区一模）已知直线l与直线y=-2x+m交于点（2，0），且与直线y=3x平行，求m的值及直线l的解析式．

18. 难度：中等

（2009•怀柔区二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∠ACD=30°，AB=12，BC=10，求AD的长．

19. 难度：中等

（2011•无锡一模）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

20. 难度：中等

（2010•扶沟县一模）某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为94%．根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据所给信息，解答下列问题：
（1）D型号种子数是______粒；
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种子共有200 000粒，估计能有多少粒种子会发芽．

21. 难度：中等

（2009•海淀区一模）甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200本图书与乙同学清点300本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本，求甲同学平均每分钟清点图书的数量．

22. 难度：中等

（2009•海淀区一模）我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．
（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S₁，S₂，S₃，S₄四者之间的等量关系（S₁，S₂，S₃，S₄分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：
①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是______；
②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是______．

23. 难度：中等

（2009•海淀区一模）已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

24. 难度：中等

（2012•乐山模拟）在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

25. 难度：中等

（2010•红桥区一模）已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．