已知函数在处取得极小值． （1）求实数的值； （2）设，讨论函数的零点个数．

（1）（2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. 【解析】 （1）求出函数的导数结合导数与极值之间的关系得到，求解即可得到结果；（2）求出函数的导数，研究函数的极值和单调性，根据最值的符号，分别讨论在各个区间内的零点个数. （1）函数的定义域为， 函数在处取得极小值 ，得 当时， 则时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 时，函数取得极小值，符合题意 （2）由（1）知，函数，定义域为 则： 令，得；令，得 在上单调递减，在上单调递增 当时，函数取得最小值 当，即时，函数没有零点； 当，即时，函数有一个零点； 当，即时， 存在，使 在上有一个零点 设，则 当时，，则在上单调递减 ，即当时， 当时， 取，则 存在，使得 在上有一个零点 在上有两个零点， 综上可得，当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.