已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值 （1）求实数a的值...

（1）令f′（x）=0，即可求得a值； （2）f（x）=-x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）-x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根， 问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围． 【解析】 （1）f′（x）=-2x-1， ∵f′（0）=0，∴a=1． （2）f（x）=ln（x+1）-x2-x 所以问题转化为b=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上有两个不同的解， 从而可研究函数g（x）=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上最值和极值情况． ∵g′（x）=-， ∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]． ∴gmax（x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0， 又g（2）=-1+ln3， ∴当b∈[-1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．