已知函数． （1）当时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取...

（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值． （2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、 0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论． （3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得 ，由 ，证得结论． 【解析】 （1）当时，，定义域是（0，+∞），  求得，令f'（x）=0，得，或x=2． ∵当或x＞2时，f'（x）＞0； 当时，f'（x）＜0， ∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减． ∴f（x）的极大值是 ，极小值是 ． ∵当x趋于 0时，f（x）趋于-∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞， 由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点， k的取值范围是{k|k＞3-ln2，或}． （2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）． 令，∵， ∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．  ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1； ②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1． （3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即． 令，则有，∴． ∵，∴．