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若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而在I上是减函数,则称y=f(x)...

若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而manfen5.com 满分网在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”.已知f(x)=x2+(cotθ-1)x+b(θ、b是常数,b>0).
(1)若f(x)是偶函数,求θ、b应满足的条件;
(2)当cotθ≥1时,f(x)在(0,1]上是否是“弱增函数”,请说明理由.
(1)根据f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),由此可求θ、b应满足的条件; (2)确定f(x)在(0,1]上是增函数,考察函数,分类讨论,确定函数的单调性,即可求得结论. 【解析】 (1)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x),…(2分) 即x2+(cotθ-1)x+b=x2-(cotθ-1)x+b对任意x∈R恒成立, ∴cotθ=1,b>0,…(4分) ∴若f(x)是偶函数,则θ=kπ+(k∈Z),b>0,…(6分) (2)当cotθ≥1时,f(x)=x2+(cotθ-1)x+b的对称轴是 ∴f(x)在(0,1]上是增函数 …(8分) 考察函数, ①当,即b≥1时,设0<x1<x2≤1, 则 ∵0<x1<x2≤1,∴x1-x2<0,0<x1x2<1≤b, ∴ 即g(x)在(0,1]上单调递减,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”;…(12分) ②当,即0<b<1时,g(b)=g(1)=1+b+(cotθ-1), 即g(x)在(0,1]上不是单调函数,∴f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”.…(13分) 综上所述,b≥1时,f(x)在(0,1]上是“弱增函数”;0<b<1时,f(x)在(0,1]上不是“弱增函数”…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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