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某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销...

某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售2000件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术的含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.设改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).
(1)当销售价提高的百分率为0.1时,月利润是多少?
(2)写出y与x的函数关系式;
(3)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
(1)由已知中如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.可得销售价提高的百分率为0.1时月平均销售量,结合每件产品的利润可得答案. (2)由已知中如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.计算出改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为2000(1-x2),整理可得y与x的函数关系式; (3)根据(2)的解析式,利用结合x的取值范围,利用导数法易得月平均利润最大值. 【解析】 (1)当销售价提高的百分率为0.1时,销售价是22元 月平均销售量减少的百分率为0.01, 月平均销售量为2000(1-0.01)(元)                 …(1分) 月利润是:2000(1-0.01)(22-15)=13860元     …(2分) (2)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为2000(1-x2) 件,则月平均利润2000(1-x2)[20(1+x)-15](元), ∴y与x的函数关系式为:y=2000(1-x2)[20(1+x)-15](0<x<1),y=10000(-4x3-x2+4x+1)…(4分) (3)由y'=10000(4-2x-12x2)=0,得,(舍), 当时y'>0;时y'<0,∴函数在取得最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为=30元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.…(8分)
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考点分析:
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