Question

已知函数f（x）=x³-6x²-1．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）设g（x）=f（x）-c，且∀x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）f（x）=x3-6x2-1，知f′（x）=3x2-12x，由f′（x）=3x2-12x=0，得x1=0，x2=4，由此列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间与极值．
（2）由f（x）-c≥2c+1，知3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立，由导数性质求出x∈[-1，2]时，f（x）min=f（2）=-17．由此能求出c的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x3-6x2-1，
∴f′（x）=3x2-12x，
由f′（x）=3x2-12x=0，得x1=0，x2=4，
列表讨论，得：

 x  （-∞，0）  0  （0，4）  4  （4，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

由表知：f（x）的增区间为（-∞，0），（4，+∞），减区间为（0，4）．
当x=0时，f（x）取极大值f（0）=-1；
当x=4时，f（x）取极小值f（4）=64-6×16-1=-33．
（2）∵g（x）=f（x）-c，且∀x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立
∴f（x）-c≥2c+1对∀x∈[-1，2]恒成立，
∴3c+1≤f（x）在[-1，2]上恒成立．
∵由f′（x）=3x2-12x=0，得x1=0∈[-1，2]，x2=4∉[-1，2]，舍，
f（-1）=-1-6-1=-8，
f（0）=0-0-1=-1，
f（2）=8-24-1=-17，
∴x∈[-1，2]时，f（x）min=f（2）=-17，
∴3c+1≤-17，
∴c≤-6．
故c的取值范围是（-∞，-6]．