如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线...

（1）由直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°，我们要求正三棱柱的侧棱长，关键是要找出AD在侧面BB1C1C上的射影，然后求出A点到侧面BB1C1C的距离，分析易得△ABC中BC边的中线AE，即为A点到侧面BB1C1C的距离，求出AE后，我们易求出AD的长，解三角形ACD可求出CD的长，然后根据D为侧棱CC1的中点，进而可以求出三棱柱的侧棱长； （2）过E作EF⊥BD于F，连接AF后，我们结合（1）的结论可得EF即为AF在侧面BB1C1C上的射影，由三垂线定理，我们易得∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，解三角形AEF后，即可求解； （3）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，则平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．EG的长为点E到平面ABD的距离．解三角形AEF可以求出EG的长，进而得到点C到平面ABD的距离． 【解析】 （Ⅰ）设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE． ∵△ABC是正三角形， ∴AE⊥BC． 又底面ABC⊥侧面BB1C1C， 且两平面交线为BC， ∴AE⊥侧面BB1C1C． 连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角． ∴∠ADE=45°． 在Rt△AED中，，解得． ∴此正三棱柱的侧棱长为． （Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF． ∵AE⊥侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影． 由三垂线定理，可知AF⊥BD． ∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角． 在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1， ， ∴． 又， ∴在Rt△AEF中，． 故二面角A-BD-C的大小为arctan3． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF， ∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF， 过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD． ∴EG的长为点E到平面ABD的距离． 在Rt△AEF中，． ∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为．