已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y2=2px（p＞0）上，原...

已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y²=2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1），求抛物线的方程．

依题意，可求得直线AB的方程，与抛物线y2=2px联立，利用韦达定理可求得p．【解析】 ∵原点在直线AB上的射影为点D（2，1）， ∴直线AB的斜率为kAB=-2， ∴线AB的方程lAB：y-1=-2（x-2），整理得：2x+y-5=0…（4分）将2x=5-y代入y2=2px（p＞0）得y2+py-5p=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程y2+py-5p=0的两根． ∵OA⊥OB， ∴x1x2+y1y2=0，…（8分） ∴y1y2-（y1+y2）+5=0， ∴-5p+p+5=0， ∴p=， ∴y2=x…（12分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等