设，其中c，c1，c2，…，ck为非零常数，数列{an}的首项a1=1，前n项和...

（1）由a1 =S1 求出首项 a1 的值，当n≥2时，由an+Sn=2 ①，可得an-1+Sn-1=2 ②，相减可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）．判断，从而证得结论． （2）若k=0，由（1）知，不符题意．若k=1，求得an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．若k=2，同理求得an=2an-2a+1（n∈N*），此时．  当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列，综上可得结论． （1）证明：∵k=0，则fk（n）即f（n）为常数，不妨设f（n）=c（c为常数）． 因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，即c=2a1=2． 而且当n≥2时，由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2，②，把①-②可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）． 若an=0，则an-1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以． 故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． （2）【解析】 （i） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． （ii） 若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），则 当n≥2时，由an+Sn=bn+c ③，可得an-1+Sn-1=b（n-1）+c．④ ③-④得 2an-an-1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b-d（常数）， 而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*）， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1． （iii） 若k=2，设（a≠0，a，b，c是常数）， 当n≥2时，由  ⑤，可得  ⑥， ⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a（n∈N，n≥2）． 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2an+b-a-d，且d=2a， 考虑到a1=1，所以an=1+（n-1）•2a=2an-2a+1（n∈N*）． 故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2an-2a+1（n∈N*）， 此时（a为非零常数）．  （iv） 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．