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设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①≤an+1,②an≤M.其...

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①manfen5.com 满分网≤an+1,②an≤M.其中n∈N+,M是与n无关的常数.
(1)设数列{bn}的通项为bn=5n-2n,证明:{bn}∈W;
(2)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a4=2,S4=20,证明:{Sn}∈W并求M的取值范围.
(1)由bn=5n-2n,分别代入:①≤an+1,②an≤M.验证是否成立,进而可判断{bn}∈W (2)根据等差数列{an}满足a4=2,S4=20,构造方程可求出其首项和公差,进而得到其通项公式和前n项和公式,将{Sn},代入:①≤an+1,②an≤M.验证是否成立,进而可判断{Sn}∈W,根据二次函数的图象和性质可得W的取值范围. 证明:(1) 又…(3分) ∵ ∴当n≤2时bn+1>bn, 当n≥3时bn+1<bn, ∴当n=3时,{bn}取得最大值7 ∴bn≤7,由已知{bn}∈W…(6分) (2)由已知:设an=a1+(n-1)d ∵a4=2,s4=20 ∴a1+3d=4,4a1+6d=20 得∴a1=8,d=-2, ∴an=10-2n, …(8分) ∴ 又, ∴…(10分) 又∵n∈N+, ∴当n=4或5时,{sn}取得最大值20 ∴sn≤20…(13分) ∴{sn}∈W且M≥20 ∴M的取值范围为M≥20…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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