已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上．数列{bn}满足bn+2-2bn+...

（Ⅰ）把点点代入直线方程，进而求得，则Sn可得．进而根据an=Sn-Sn-1求得an．整理bn+2-2bn+1+bn=0得bn+2-bn+1=bn+1-bn，判断出{bn}为等差数列根据b3和b7求得公差，进而根据等差数列的通项公式求得bn． （Ⅱ）先用裂项法求得Tn，进而求得Tn-Tn-1＞0，推知Tn单调递增，进而求得Tn的最小值，则k的范围可得． （Ⅲ）把（1）中求得的bn和an代入函数 解析式，分别看m为奇数和偶数时利用f（m+15）=5f（m）求得m，最后综合可得答案． 【解析】 （Ⅰ）由题意，得 故当n≥2时， 注意到n=1时，a1=S1=6，而当n=1时，n+5=6， 所以，an=n+5（n∈N*）． 又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*）， 所以{bn}为等差数列 于是 而 因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）． （Ⅱ）= 所以，= 由于， 因此Tn单调递增，故 令 （Ⅲ） ①当m为奇数时，m+15为偶数． 此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25， 所以3m+47=5m+25，m=11． ②当m为偶数时，m+15为奇数． 此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10， 所以（舍去）． 综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．