如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4...

解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出． （2）：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC1，得到AC1∥平面CDB1；第三问：因为AC1∥DE，所以∠CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可． 解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系， （1）：证得向量点积为零即得垂直． （2）：=λ，与两个向量或者共线或者平行可得．第三问： 证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1； （Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连接DE， ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1， ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1； （Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角， 在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ∴cos∠CED==， ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 解法二： ∵直三棱锥ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直． 如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4）， ∴•=0， ∴⊥． （Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2） ∵=（-，0，2），=（-3，0，4）， ∴=，∴∥ ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1． （Ⅲ）∵=（-3，0，0），=（0，4，4）， ∴cos＜，＞==， ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．