若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得...

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．
（1）已知 manfen5.com 满分网

是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；
（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）因为是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；（2）根据函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解进行求解．【解析】（1）因为是[0，+∞）上的正函数，且在[0，+∞）上单调递增，所以当x∈[a，b]时，即解得a=0，b=1，故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；（2）因为函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数，所以当x∈[a，b]时，即两式相减得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），代入a2+m=b得a2+a+m+1=0，由a＜b＜0，且b=-（a+1）得，故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解，记h（a）=a2+a+m+1，则解得．

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