已知函数（a∈R）． （1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间； （2）若函...

（1）先求导，看其f′（x）在某区间上是大于0、还是小于0．即可判断出单调区间． （2）已知问题⇔对任意实数x恒成立⇔，x∈R．解出即可． （3）对x分x=0 与x∈（0，2]讨论，对x∈（0，2]可转化为：当x∈（0，2]时，若∃x∈（0，2]，f（x）＜0，⇔∃x∈（0，2]，．求出即可． 【解析】 （1）∵函数（a∈R），∴f′（x）=-x2+2x+a． 当a=3时，f′（x）=-x2+2x+3=-（x+1）（x-3）． 当x∈（-∞，-1）或（3，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（-1，3）时，f′（x）＞0． ∴函数f（x）在区间（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递减；在区间（-1，3）上单调递增． （2）∵f′（x）=-x2+2x+a，∴函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处切线的斜率为， 由题意可知：对任意的实数x，恒成立． 即对任意实数x恒成立⇔，x∈R． 令φ（x）=，则φ（x）=≤1，∴=1． ∴2a2-a＞1， 解得a＞1，或a＜． ∴a的取值范围是（-∞，）∪（1，+∞）． （3）①当x=0时，f（0）=0，∵0＜0不可能，此时不存在a满足要求； ②当x∈（0，2]时，若∃x∈（0，2]，f（x）＜0，⇔∃x∈（0，2]，． ∵φ（x）==，∴φ（x）在区间（0，）单调递减，在区间单调递增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在区间（0，2]上无最大值． 经验证a=0 时适合题意． ∴a≤0．