设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当时，求...

设函数

．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当 manfen5.com 满分网

时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数 manfen5.com 满分网

，若对于∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

确定函数f（x）的定义域，并求导函数（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f'（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=；对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，， ∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=-2（5分）（Ⅱ）=（6分）令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2 故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数， ∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）又，x∈[0，1] ①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾 ②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得， ③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是（12分）

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考点分析：

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若椭圆C₁：

的离心率等于

，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点在椭圆的顶点上．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）求过点M（-1，0）的直线l与抛物线C₂交E、F两点，又过E、F作抛物线C₂的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

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如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的中点，
将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，作A₁F⊥CD，垂足为F，如图2．
（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）若∠A=45°，AC=2，在线段CD上是否存在点F，使得二面角A₁-BE-F为45°．若存在，则指出点F的位置，若不存在，请说明理由．