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已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）...

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足manfen5.com 满分网，记Tn为数列{bn}的前n项和．求证：2Tn+1＜log2（an+3）
（I）n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0由此能求出an． （II）根据数列{bn}满足，可得，从而Tn=b1+b2+…+bn=，利用分析法证明．要证2Tn+1＜log2（an+3），即证＜log2（an+3），即证，构造函数，可得{cn}是单调递减数列，即可证出结论． （I）【解析】 n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2． n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0， ∵an+an-1＞0， ∴an-an-1=3， ∴{an}为等差数列， ∵a1=2， ∴an=3n-1． （II）证明：∵数列{bn}满足， ∴ ∴Tn=b1+b2+…+bn= 要证2Tn+1＜log2（an+3），即证＜log2（an+3） 即证 即证 令， ∴ ∵cn＞0，∴cn+1＜cn， ∴{cn}是单调递减数列 ∴ ∴ 故2Tn+1＜log2（an+3）．
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考点分析：
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试题属性
  • 题型：解答题
  • 难度：中等
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