已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求...

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值．

（Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t即得．【解析】（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna 由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax-1＞0，所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增，故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2（10分）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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