定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x...

定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．当x∈（0，1]时， manfen5.com 满分网

，则f（2010）的值是（）
A．-1
B．0
C．1
D．2

由题意，可由题设条件定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．判断出函数的周期是4，再由恒等式f（-x）=-f（x）判断出f（0）=0，即可求f（2010）的值选出正确选项【解析】由题意定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x）．由f（1+x）=f（1-x）得f（x）=f（2-x）．结合f（-x）=-f（x），得f（-x）=f（-2+x）． ∴f（-2+x）=-f（x），即f（-2+x）=f（x+2），故函数的周期是4 ∴f（2010）=f（2）=-f（0） ∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），令x=0得f（0）=-f（0），∴f（0）=0 ∴f（2010）=f（2）=-f（0）=0 故选B

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考点分析：

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已知函数f（x）图象的两条对称轴x=0和x=1，且在x∈[-1，0]上f（x）单调递增，设a=f（3）， manfen5.com 满分网