设函数f（x）=-x3+mx2+x，g（x）=mx2-x+c，F（x）=xf（x...

设函数f（x）=-

x³+

mx²+

x，g（x）=

mx²-x+c，F（x）=xf（x）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在x=2处有极值，求实数m的值；
（Ⅱ）试讨论方程y=F′（x）=g（x）的实数解的个数；
（Ⅲ）记函数y=G（x）的导称函数G′（x）在区间（a，b）上的导函数为G′′（x），若在（a，b）上G′′（x）＞0恒成立，则称函数G（x）（a，b）上为“凹函数”．若存在实数m∈[-2，2]，使得函数F（x）在（a，b）上为“凹函数”，求b-a最大值．

（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）在x=2处有极值，可得，从而可求实数m的值；（Ⅱ）由题意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x3+mx2+x==mx2-x+c ，即，构造函数，确定函数的单调区间，从而可得函数的极值，进而分类讨论，即可得到方程y=F′（x）=g（x）的实数解的个数；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F′（x）=，所以F″（x）=-x2+mx+3，利用新定义，即可求得b-a最大值．【解析】（Ⅰ）求导函数 ∵函数y=f（x）在x=2处有极值， ∴ ∴m=；（Ⅱ）由题意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x3+mx2+x==mx2-x+c ，即令，∴h′（x）=-x2+4 令h′（x）=-x2+4＞0，可得-2＜x＜2；令h′（x）=-x2+4＜0，可得x＜-2，或x＞2； ∴函数的单调增区间为（-2，2），单调减区间为（-∞，-2），（2，+∞） ∴x=-2时，函数取得极小值为；x=2时，函数取得极大值为 ∴当极小值大于0或极大值小于0，即或，即或时，方程有唯一解；当极小值或极大值等于0，即时，方程有两个解；当极小值小于0且极大值大于0，即时，方程有三个解；（Ⅲ）由（Ⅱ）知F′（x）=，∴F″（x）=-x2+mx+3 令F″（x）＞0，∴-x2+mx+3＞0，∴x2-mx-3＜0 要使存在实数m∈[-2，2]，使得函数F（x）在（a，b）上为“凹函数”，则b-a取得最大时，b，a是方程x2-mx-3=0的根，∴b+a=m，ba=-3 ∴（b-a）2=m2+12 ∴b-a最大值为．

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考点分析：

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（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

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已知椭圆E：