已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当...

已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

（1）先任取x1＜x2，x2-x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2-x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1变形得到结论．（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再将f（3m2-m-2）＜3转化为f（3m2-m-2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．【解析】（1）证明：任取x1＜x2， ∴x2-x1＞0． ∴f（x2-x1）＞1． ∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）] =f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1）， ∴f（x）是R上的增函数．（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5， ∴f（2）=3． ∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数， ∴3m2-m-2＜2， 3m2-m-4＜0， ∴-1＜m＜．

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考点分析：

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试题属性

题型：填空题
难度：中等