设函数F（x）=ex+sinx-ax．（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的...

设函数F（x）=e^x+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取值范围．

（1）先利用导数公式和导数四则运算计算函数F（x）的导函数F′（x），再利用函数极值的意义，令F′（0）=0即可解得a的值（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，即φ（x）=F（x）-F（-x）≥0在[0，+∞）上恒成立，考虑到φ（0）=0，故通过讨论函数φ（x）的单调性可得a的范围【解析】（1）函数F（x）=ex+sinx-ax的导函数F′（x）=ex+cosx-a ∵x=0是F（x）的极值点，∴F′（0）=1+1-a=0 解得a=2 又当a=2时， x＜0时，F′（x）=ex+cosx-2＜0，x＞0时F′（x）=ex+cosx-2＞0 ∴x=0是F（x）的极小值点 ∴a=2 （2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax 则φ′（x）=ex+e-x+2cosx-2a 令S（x）=φ′′（x）=ex-e-x-2sinx ∵S′（x）=ex+e-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立 ∴函数S（x）在[0，+∞）上单调递增 ∴S（x）≥S（0）=0当x≥0时恒成立 ∴函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a当x≥0时恒成立当a≤2时，φ′（x）≥0，函数φ（x）在[0，+∞）上单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0 故a≤2时，F（x）≥F（-x）恒成立当a＞2时，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上单调递增 ∴总存在x∈（0，+∞），使得在区间[0，x）上φ′（x）＜0，导致φ（x）在[0，x）上递减，而φ（0）=0 ∴当x∈（0，x）时，φ（x）＜0，这与题意不符，∴a＞2不合题意综上，a的取值范围是（-∞，2]

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考点分析：

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