把已知的等式cos2A+=sin2A变形后,利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2A的值,由A为锐角,得到A的范围,进而得到2A的范围,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,
(1)由A的度数求出cosA的值,利用余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,把a,b及cosA的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值;
(2)由A的度数求出sinA的值,利用余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,把a,cosA的值代入,并利用基本不等式进行化简,可求出bc的最大值,然后由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S,把bc的最大值及sinA的值代入,即可求出面积的最大值.
【解析】
∵cos2A+=sin2A,
∴cos2A-sin2A=-,即cos2A=-,
又0<A<,∴0<2A<π,
∴2A=,即A=,
(1)∵a=,b=3,cosA=,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得:7=9+c2-3c,即c2-3c+2=0,
解得:c=1或c=2,
而当c=1时,cosB==-<0,与B为锐角矛盾,
∴c=1舍去,即c=2;
(2)∵a=,cosA=,
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得:b2+c2-bc=7,
又b2+c2≥2bc,
∴b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤7,
∴S=bcsinA≤×7×=,
则△ABC面积的最大值为.