已知某椭圆的焦点是F1（-4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线...

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

（1）由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．由此可知椭圆方程为+=1．（2）由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F2A|=（-x1），|F2C|=（-x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得x1+x2=8．由此可知x===4．（3）由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得9×4+25y（-）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范围．（1）【解析】由椭圆定义及条件知 2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．故椭圆方程为+=1．（2）【解析】由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F2A|=（-x1），|F2C|=（-x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得（-x1）+（-x2）=2×．由此得出x1+x2=8．设弦AC的中点为P（x，y），则x===4．（3）【解析】由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得 9x12+25y12=9×25，④ 9x22+25y22=9×25．⑤ 由④-⑤得9（x12-x22）+25（y12-y22）=0，即9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得 9×4+25y（-）=0（k≠0）．由上式得k=y（当k=0时也成立）．由点P（4，y）在弦AC的垂直平分线上，得 y=4k+m，所以m=y-4k=y-y=-y．由P（4，y）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得-＜y＜．所以-＜m＜．

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考点分析：

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