设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b． ...

（1）由f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，可得a＞0，c＜0，联立方程y=f（x）=ax2+bx+c和y=g（x）=ax+b，并判断△的符号，即可判断出函数y=f（x）与y=g（x）的图象交点的个数； （2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由数轴上两点之间的距离及二次方程根与系数的关系，可以求出|A1B1|的取值范围； （3）不妨设x1＞x2，则由（2）中＜x1-x2＜2，及-2＜＜-，结合a＞b＞c，可得-＜x2≤0，又由a＞0，结合二次函数的图象和性质可得，当x≤-时，f（x）-g（x）＞0恒成立． 证明：（1）由 y=f（x）=ax2+bx+c，y=g（x）=ax+b得 ax2+（b-a）x+（c-b）=0  （*） △=（b-a）2-4a （c-b） ∵f（x）=ax2+bx+c，f（1）=0 ∴f（1）=a+b+c=0 …（3分） 又a＞b＞c ∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0，c＜0 ∴b-a＜0，c-b＜0，a＞0 ∴△=（b-a）2-4a（c-b）＞0 故函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；…（5分） 【解析】 （2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）， 则x1、x2是方程（*）的两根 故x1+x2=-， x1x2=， 所以|A1B1|=|x1-x2|= == 又a+b+c=0，故b=-（a+c） 因而（b-a）2-4a（c-b）=（-2a-c）2-4a（a+2c）=c2-4ac 故|A1B1|== =…（8分） ∵a＞b＞c，a+b+c=0 ∴a＞-（a+c）＞c ∴-2＜＜- ∴|A1B1|的取值范围是（，2）…（10分）． 证明：（3）不妨设x1＞x2，则由（2）知： ＜x1-x2＜2① 则x1+x2=-=1- 由a＞b＞c得：＜＜1， 故0＜1-＜1-…（12分） 又-2＜＜-， 故＜1-＜3， 因而0＜1-≤ 即0＜x1-x2≤② 由①、②得：-＜x2≤0， 即方程（*），也就是方程f（x）-g（x）=0的较小根的范围是（-，0]． 又a＞0，故当x≤-时， f（x）-g（x）＞0恒成立， 即当x≤-时，恒有f（x）＞g（x） …（14分）．